当餐饮客人忘记付钱时，商家可以采取以下步骤来妥善处理这一问题：

一、及时确认与记录

首先，商家应尽快确认客人是否确实未付款。这可以通过检查收银系统、账单记录或监控录像等方式进行。一旦确认客人未付款，应立即记录下客人的消费详情、未付款金额以及未付款的时间等信息，以便后续处理。

二、尝试联系客人

如果商家能够获取到客人的联系方式，如电话、邮箱或微信号等，可以尝试与客人取得联系，礼貌地提醒他们关于未付款的情况，并请求他们尽快完成支付。在沟通过程中，商家应保持耐心和礼貌，避免给客人带来不必要的困扰或尴尬。

三、寻求法律途径

如果客人拒绝支付或无法取得联系，商家可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。例如，可以向当地法院提起诉讼，要求客人支付未付款项。在此之前，商家应准备好相关证据，如消费记录、监控录像等，以证明客人确实存在未付款的行为。

然而，需要注意的是，法律途径可能会涉及一定的时间和成本投入，因此商家在决定是否采取此方式时应进行权衡。

四、预防与改进措施

为了避免类似情况再次发生，商家可以采取一些预防措施和改进措施。例如：

1. 加强收银员的培训和管理，确保他们能够准确、及时地完成收款工作；
2. 在店内设置明显的付款提示和收银流程指引，帮助客人更好地了解和完成付款流程；
3. 定期对收银系统和设备进行维护和检查，确保其正常运行和准确性；
4. 考虑引入智能支付系统或移动支付技术，提高收款的便捷性和准确性。

综上所述，当餐饮客人忘记付钱时，商家应及时确认与记录、尝试联系客人、考虑法律途径以及采取预防与改进措施来妥善处理这一问题。同时，商家也应保持耐心和礼貌的态度，以维护良好的客户关系和店铺形象。