私家车在路上超载被罚后，当天交警通常不会再因同一超载违法行为进行再次罚款。这是基于“一事不再罚”的原则，即对于同一辆超载车辆，若执法部门已在当天对其超载行为进行了检查、认定并作出了相应的处罚，则不会因同样的超载事实在当天再次进行罚款处罚。

详细解释如下：

1. “一事不再罚”原则：

   • 根据《行政处罚法》的相关规定，对当事人的同一个违法行为，不得给予两次以上罚款的行政处罚。这意味着，如果私家车在一天内因超载被交警查处并罚款，那么在同一天内，对于该辆车的同一超载行为，交警通常不会再次进行罚款。

2. 超载处罚后的具体措施：

   • 虽然不会因同一超载行为再次罚款，但交警有权责令驾驶员卸载超载的部分，并给予警告和批评教育。
   • 超载车辆可能会被交警拖走并扣留，直至超载部分被卸载并达到法定载重标准后才会被放行。

3. 特殊情况：

   • 如果车辆在被处罚后继续装载货物导致再次超载，或在卸载部分货物后又在其他地方重新超载，则构成了新的超载违法行为，此时交警可以依法再次进行处罚。
   • 在不同的路段分别由不同的执法部门（如交通警察与路政执法）进行检查，由于信息沟通可能不及时，也可能会出现再次被处罚的情况。但当事人可通过申诉、行政复议等合法途径解决此类不合理的重复处罚问题。

法律建议：

• 驾驶员应严格遵守交通规则，避免超载等违法行为的发生。超载不仅危害道路交通安全，还可能引发严重的法律后果和经济损失。
• 如果在一天内因超载被多次查处，应保留好相关处罚凭证，以便在必要时进行申诉或行政复议。

综上所述，私家车在路上超载被罚后，当天通常不会因同一超载违法行为再次被罚款。但驾驶员仍需按要求处理超载问题，并严格遵守交通规则，确保行车安全。