盗窃一只鸡的处罚方式主要取决于鸡的价值、盗窃的次数以及是否存在其他恶劣情节。以下是对此问题的详细解答：
一、不构成犯罪的情形（治安处罚）
情况分析：
- 当盗窃的鸡价值较低，未达到当地盗窃罪的立案标准时（这一标准因地区而异，但通常在1000元至3000元以上），该行为被视为违反治安管理的行为。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，盗窃公私财物的，将处以五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款；若情节较重，则处以十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款。
实例说明：
- 假设在某农村地区，一只普通鸡的市场价值约为50元，且当地盗窃罪立案标准为2000元，那么盗窃这样一只鸡将仅受到治安管理处罚，即可能被拘留并罚款。
二、构成犯罪的情形（刑事处罚）
情况分析：
- 若盗窃的鸡具有特殊价值（如珍贵品种），其价值达到或超过当地盗窃罪立案标准；或者存在多次盗窃（二年内盗窃三次以上应认定为“多次盗窃”）等特殊情形，则该行为构成盗窃罪。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百六十四条，盗窃公私财物，数额较大的，或多次盗窃、入户盗窃、携带凶器盗窃、扒窃的，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金的处罚；若数额巨大或有其他严重情节，将处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；若数额特别巨大或有其他特别严重情节，则将面临十年以上有期徒刑或无期徒刑，并处罚金或没收财产的处罚。
实例说明：
- 假设某人盗窃了一只价值3000元的珍贵品种鸡，且当地盗窃罪立案标准为2000元，那么该人的行为将构成盗窃罪，并可能受到相应的刑事处罚。
三、具体处罚的确定
- 具体的处罚方式会由公安机关根据案件的具体情况来决定，包括盗窃鸡的价值、盗窃的次数、是否有其他恶劣情节（如是否入户盗窃、是否携带凶器盗窃等）以及犯罪嫌疑人的认罪态度等因素。
四、法律建议
- 遵守法律：盗窃行为不仅违法，也违背了社会公德。建议公众遵守法律法规，尊重他人的财产权，避免从事任何违法活动。
- 及时咨询：如面临类似情况或纠纷，建议及时咨询专业律师或法律机构，以获取更具体的法律建议和帮助。
综上所述，盗窃一只鸡的处罚方式因具体情况而异，可能受到治安管理处罚或刑事处罚。因此，建议公众务必遵守法律法规，避免触犯法律底线。