公司和个人单方解除劳动关系的赔偿问题，主要依据《劳动合同法》的相关规定，并根据解除劳动关系的具体情形来判断。以下是对这一问题的详细解答：

一、公司合法解除劳动关系无需赔偿的情形

若员工存在以下情形，公司解除劳动关系无需支付赔偿：

• 严重违反公司规章制度；
• 严重失职给公司造成重大损害；
• 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响；
• 被依法追究刑事责任等。

在这些情况下，公司解除劳动关系是合法且无需承担经济赔偿责任的。

二、公司需支付经济补偿的情形

以下情形中，公司需按员工在本单位工作的年限支付经济补偿：

• 公司向员工提出解除并协商一致；
• 员工不能胜任工作，经培训或调岗后仍不能胜任；
• 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使合同无法履行，且未能就变更合同达成协议等。

经济补偿的计算方式为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。这里的月工资指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

三、公司违法解除劳动关系的情形

若公司违反法律规定解除劳动关系，如无正当理由辞退员工，应依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。同样，这里的月工资也是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

四、劳动者主动解除劳动关系的情形

• 若单位无过错，劳动者主动辞职，通常单位无需支付经济补偿；
• 但若单位存在未及时足额支付劳动报酬等法定情形，劳动者据此解除劳动合同，单位就需按劳动者工作年限支付经济补偿。

五、其他注意事项

• 若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，赔偿基数和年限会有特别规定；
• 除了经济补偿，还有可能涉及到代通知金等情况，如单位未提前三十日以书面形式通知劳动者解除劳动合同。

综上所述，公司和个人单方解除劳动关系的赔偿问题需根据具体情形判断，并依据相关法律法规进行妥善处理。如有任何疑问或争议，建议及时咨询专业律师或劳动法律机构以获取准确的法律意见和帮助。