私生子在法律上与婚生子女享有平等的继承权，可以继承的遗产份额通常与其他第一顺序继承人平分。具体来说：

1. 法定继承中的平等权利：

   • 私生子作为非婚生子女，根据《中华人民共和国民法典》的规定，与婚生子女享有同等的权利，包括继承权。在法定继承中，若被继承人未留下合法有效的遗嘱，私生子作为第一顺序的继承人，与其他第一顺序继承人（如配偶、父母、婚生子女等）共同继承遗产，且继承份额一般应当均等。

2. 遗嘱继承中的特殊情况：

   • 若被继承人立有遗嘱，且遗嘱中对遗产分配有明确安排，只要遗嘱合法有效，就应按照遗嘱执行。此时，私生子继承的遗产份额需依据遗嘱内容确定，可能多于或少于法定继承情况下的份额，甚至可能无法继承遗产。

3. 实际操作中的注意事项：

   • 私生子在继承遗产时，可能需要提供相关证据证明其与被继承人的亲子关系，如亲子鉴定报告、出生证明等。
   • 在遗产分配过程中，应确保公平性和合法性，避免纠纷。如遇争议，建议通过法律途径解决。

综上所述，私生子在法律上享有与婚生子女同等的继承权利，具体继承份额取决于是否有遗嘱以及遗嘱的具体内容。在法定继承情况下，私生子通常可与其他第一顺序继承人平分遗产。