当员工不愿意和公司签订书面劳动合同时，公司应当采取一系列措施来妥善处理这一情况，以确保用工的合法性和规范性。以下是我给出的具体建议：

1. 立即沟通协商：

   • 公司应与员工进行坦诚的交流，了解其不愿签订合同的具体原因。
   • 通过沟通，尝试消除员工的顾虑，向其说明签订劳动合同对双方权益的保障作用。

2. 发出书面通知并保留证据：

   • 若沟通后员工仍不愿签订，公司应发出书面通知，明确告知员工签订劳动合同的重要性以及不签订的法律后果。
   • 该通知应保留送达的相关证据，如员工签收记录等，以备后续可能发生的法律纠纷。

3. 依法处理：

   • 若员工在规定期限内仍拒绝签订劳动合同，根据《劳动合同法》的相关规定，公司可以自用工之日起超过一个月不满一年未签订劳动合同的情况下，书面通知员工终止劳动关系，且无需支付经济补偿，但需依法支付实际工作时间的劳动报酬。

4. 特殊情况的处理：

   • 对于公司特别需要但又不愿签订劳动合同的员工，可以考虑要求其签订《不愿意签订劳动合同的声明书》，以证明不签劳动合同系员工自己的意愿，并承担因此造成的法律责任。
   • 同时，公司可以在公布栏、官网或微信工作群发布公告，以证明公司已通知劳动者签订劳动合同，但系劳动者自己要求不签订劳动合同。

5. 防范潜在风险：

   • 公司应建立健全的人力资源管理制度，确保劳动合同的签订和管理规范化。
   • 对于拒绝签订劳动合同的员工，公司应及时采取措施，避免因此带来的潜在法律风险。

综上所述，当员工不愿意和公司签订书面劳动合同时，公司应通过沟通协商、发出书面通知、依法处理以及特殊情况下的特殊处理等措施来妥善处理这一情况。同时，公司也应加强人力资源管理制度的建设，防范潜在的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。