拘留通知书上写聚众斗殴，并不意味着就一定构成聚众斗殴罪。具体是否构成聚众斗殴罪，需要根据案件的具体情况和法律规定来判断。

1. 行政责任与刑事责任的区别：

   • 如果聚众斗殴的情节较轻，没有造成严重的社会危害，那么可能只属于行政案件，由公安机关根据《中华人民共和国治安管理处罚法》进行处罚，如拘留、罚款等。
   • 如果聚众斗殴的情节严重，如多次聚众斗殴、人数多规模大、社会影响恶劣、在公共场所或交通要道聚众斗殴造成社会秩序严重混乱、持械聚众斗殴，或者致人重伤、死亡等，那么就可能构成刑事案件，即聚众斗殴罪，需要由公安机关、检察机关和法院根据《中华人民共和国刑法》进行侦查、起诉和审判。

2. 聚众斗殴罪的构成要件：

   • 主体：聚众斗殴罪的主体是首要分子和其他积极参加者。首要分子是指在聚众斗殴中起组织、策划、指挥作用的犯罪分子；其他积极参加者是指除首要分子以外在聚众斗殴中起重要作用的犯罪分子。
   • 主观方面：表现为故意，通常是出于逞强争霸、报复泄愤等不正当目的。
   • 客体：侵犯的是公共秩序，即公共场所秩序和生活中人们应当遵守的共同准则。
   • 客观方面：表现为纠集众人结伙殴斗的行为。其中，“聚众”指人数众多，至少不得少于3人；“斗殴”指双方或多方以暴力相互攻击的行为。

3. 法律后果：

   • 如果构成聚众斗殴罪，根据《中华人民共和国刑法》第二百九十二条的规定，对首要分子和其他积极参加的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制；有加重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑。
   • 如果聚众斗殴致人重伤、死亡的，还将依照故意伤害罪、故意杀人罪的规定定罪处罚。

综上所述，拘留通知书上写聚众斗殴只是表明当事人涉嫌聚众斗殴的行为，但具体是否构成聚众斗殴罪，还需要根据案件的具体情况和法律规定来判断。如果你或你身边的人面临这样的问题，建议尽快咨询专业律师，以便更好地了解自己的法律权益和可能的法律后果。