当被害人因刑事犯罪不幸死亡时，其近亲属在法律上享有特定的权利，包括参与诉讼的可能性。以下是对您问题的详细解答：

一、提起附带民事诉讼的权利

在涉及刑事犯罪的案件中，若被害人死亡，其近亲属有权提起附带民事诉讼。这是为了要求赔偿因被害人死亡而遭受的物质损失，如丧葬费、死亡赔偿金以及被扶养人生活费等。这一权利的确立旨在保障近亲属的合法权益，减轻他们因亲人离世所带来的经济负担。

1. 丧葬费：包括为处理被害人丧事所支出的必要费用，如墓地购置费、火化费、遗体运输费等。

2. 死亡赔偿金：对被害人未来收入损失的补偿，以弥补近亲属因被害人死亡而遭受的经济打击。

3. 被扶养人生活费：针对依靠被害人扶养的近亲属，确保他们的基本生活能够得到保障。

二、请求抗诉的权利

除了提起附带民事诉讼外，近亲属在特定情况下还可以请求抗诉。根据修改后的刑事诉讼法，虽然直接规定的是被害人及其法定代理人有权请求抗诉，但在实践中，若被害人已经死亡且没有法定代理人或者法定代理人不能行使权利时，近亲属的请求抗诉权应得到重视。

1. 抗诉的提出：近亲属可以在收到一审判决书后五日以内，向人民检察院提出抗诉请求。人民检察院应在收到请求后五日以内作出决定，并答复请求人。

2. 抗诉的意义：赋予近亲属请求抗诉权，既是对公权力的一种监督与限制，也是保障被害人近亲属合法权益的重要体现。它确保了在刑事诉讼过程中，近亲属的合法权益能够得到充分的保护。

综上所述，当被害人死亡时，其近亲属不仅有权提起附带民事诉讼以要求经济赔偿，还在特定情况下享有请求抗诉的权利。这些权利的确立和行使，旨在全面保障近亲属的合法权益，确保他们在刑事诉讼过程中的正当权益得到有效维护。如果您或您的近亲属面临类似情况，建议咨询专业律师以获取更详细的法律建议和帮助。