在您被人打了且对方逃跑，随后对方被鉴定为轻伤的情况下，您可以按照以下步骤来依法处理此事：

一、立即报警

首先，无论打人者是否逃跑，您都应在第一时间拨打110报警，寻求公安机关的帮助。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，公安机关对报案有义务及时受理，并进行登记。报警不仅能让公安机关迅速介入调查，还能为后续的伤情鉴定、案件处理提供重要证据和支持。

二、进行伤情鉴定

在报警后，公安机关会指导您到指定机构进行伤情鉴定。这是判断案件性质及后续处理的关键依据。依据《公安机关办理伤害案件规定》，公安机关应在受理伤害案件后24小时内开具伤情鉴定委托书。伤情鉴定结果将直接影响案件的后续处理，因此这一步非常重要。

三、根据伤情鉴定结果采取法律措施

既然对方已被鉴定为轻伤，那么根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，打人者的行为可能构成故意伤害罪，需承担刑事责任。一般来说，故意伤害他人身体致人轻伤的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。您可以配合公安机关的调查，提供必要的证据和信息，以协助追究打人者的刑事责任。

四、追究民事赔偿责任

除了刑事责任外，您还可以要求打人者承担民事赔偿责任。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。您可以收集相关证据，如医疗费用单据、收入证明等，通过法律途径（如诉讼）要求打人者进行赔偿。

五、收集证据与配合调查

在等待公安机关处理和进行伤情鉴定的同时，您应尽可能收集现场证据，如目击者证词、监控录像等。这些证据将有助于公安机关的调查和后续的法律程序。同时，您也要积极配合公安机关的调查工作，提供必要的协助和信息。

综上所述，您应立即报警、进行伤情鉴定，并根据鉴定结果采取相应的法律措施。同时，您还有权要求打人者承担民事赔偿责任。在整个过程中，收集证据和配合调查是至关重要的。法律将保护您的合法权益，确保正义得到伸张。