工会加强对劳动法律执行情况的监督，主要通过以下方式进行：

一. 依法监督

• 工会必须依据法律法规开展劳动法律监督活动，监督的内容、程序、方式等都要有明确的法律依据。例如，在监督用人单位是否遵守工作时间和休息休假相关规定时，工会需严格依据《中华人民共和国劳动法》中的具体条款进行。

二. 客观公正监督

• 工会在进行劳动法律监督时，应秉持客观、中立的态度，以事实为依据，全面、准确地了解和反映实际情况。工会应通过调查研究弄清事实真相，得出正确结论，不受任何外界因素的干扰和影响。

三. 协商合作

• 工会在监督过程中，应与用人单位、政府劳动行政部门等相关方面进行积极的沟通、协商与合作。例如，发现劳动安全卫生问题时，工会应与用人单位管理层协商，提出改进建议，共同推动问题的解决。

四. 突出重点监督

• 工会要根据劳动法律法规实施的具体情况和劳动争议的热点难点问题，有针对性地确定监督重点。例如，在拖欠农民工工资问题突出时，工会可将农民工工资支付情况作为监督重点，加强专项检查和调研。

五. 依靠群众监督

• 工会应充分依靠广大劳动者开展劳动法律监督工作，鼓励劳动者积极参与监督，反映问题和诉求。工会可通过设立意见箱、开通举报热线等方式，方便劳动者反映情况，共同参与监督工作。

六. 提升监督能力和水平

• 工会应不断加强自身建设，提高监督能力和水平。包括加强监督队伍建设，提高监督人员的法律素养和业务能力；加强监督制度建设，完善监督程序和机制；加强信息化建设，提高监督效率和准确性。

我建议：工会应综合运用以上方式，加强对劳动法律执行情况的监督，确保劳动者的合法权益得到有效保护。同时，工会还应不断总结经验，创新监督方式和方法，提高监督的针对性和实效性。如有进一步需要，您可以继续咨询我。