在诉讼过程中，当事人可以在特定情形下向人民法院申请再审，若再审申请被驳回或逾期未对再审申请作出裁定，当事人可以向人民检察院申请检察监督。具体分析如下：

一. 民事诉讼监督的申请时机

• 根据《中华人民共和国民事诉讼法》及《人民检察院民事诉讼监督规则》，当事人申请民事诉讼监督的情形包括：已经发生法律效力的民事判决、裁定、调解书符合法定情形；认为民事审判程序中审判人员存在违法行为；认为民事执行活动存在违法情形。对于这类情形，当事人应当在人民法院作出驳回再审申请裁定或者再审判决、裁定发生法律效力之日起两年内提出监督申请。

二. 行政诉讼监督的申请时机

• 依据《中华人民共和国行政诉讼法》及《人民检察院行政诉讼监督规则》，当事人可以申请行政诉讼监督的情形有：人民法院驳回再审申请或逾期未对再审申请作出裁定，且当事人认为行政判决、裁定、调解书确有错误；认为再审行政判决、裁定确有错误；认为行政审判程序中审判人员存在违法行为；认为人民法院行政案件执行活动存在违法情形。对于这类情形，当事人应当在人民法院送达驳回再审申请裁定之日或者再审判决、裁定发生法律效力之日起六个月内提出监督申请；若对人民法院逾期未对再审申请作出裁定的，应在再审申请审查期限届满之日起六个月内提出。

三. 特别注意

• 申请监督的期限是法定且不变的，不适用中止、中断、延长的规定。
• 当事人申请监督时，需向人民检察院提交完整的监督申请书、身份证明、相关法律文书及证据材料。

综上所述，当事人申请检察监督的时机主要在再审申请被驳回或逾期未对再审申请作出裁定之后，且需在法定期限内向人民检察院提出申请。我建议当事人在准备申请检察监督前，仔细查阅相关法律法规，确保申请材料的完整性和准确性，以避免因材料不齐或超过申请期限而影响监督申请的受理。如有进一步需要，您可以继续咨询我。