当您付款后对方不给开票时，您可以按照以下步骤来处理这个问题，以确保您的权益得到妥善维护：

一、初步沟通并催告

首先，建议您与对方进行友好沟通，明确表达您需要开具发票的意愿，并催告其尽快为您开具发票。在沟通过程中，请务必保持冷静和礼貌，并尽量通过书面形式（如电子邮件、短信等）进行，以便留存沟通记录作为后续维权的证据。

二、向税务机关举报

如果初步沟通无果，对方仍然拒绝开具发票，那么您可以向当地税务机关进行举报。根据《中华人民共和国发票管理办法》的相关规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，在对外发生经营业务收取款项时，有义务向付款方开具发票。税务机关在接到举报后，会进行调查核实，并依法对对方进行处罚，同时责令其开具发票。

为了举报的有效性，您需要准备好相关证据，包括付款凭证、合同、沟通记录等，以证明您已经支付了款项但对方未开具发票的事实。

三、寻求法律帮助

如果经过税务机关的处理后，对方仍然拒绝开具发票，或者您因此遭受了经济损失（如无法进行税前扣除等），那么您可以考虑寻求法律帮助。您可以咨询专业律师，了解您的权益和可能的诉讼途径。在必要时，您可以向法院提起诉讼，要求对方开具发票并承担相应的法律责任。

四、保留证据，备查备用

在整个过程中，请务必保留好所有相关的证据，包括付款凭证、合同、沟通记录、税务机关的处理结果等。这些证据将对您后续维权和诉讼起到至关重要的作用。

综上所述，当您遇到对方不给开票的情况时，应先尝试通过沟通解决；若沟通无果，则向税务机关举报；若举报后问题仍未解决，则考虑寻求法律帮助。在整个过程中，请务必保留好所有相关证据，以确保您的权益得到妥善维护。