针对您提出的“驾驶员肇事逃逸后自行支付赔偿款，能否向保险公司追偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
一、交强险部分
赔偿与追偿规定：
- 根据相关法律规定，如《机动车交通事故责任强制保险条例》及司法解释，驾驶人在肇事逃逸的情况下，保险公司仍需在交强险责任限额范围内对受害人的人身伤亡损失承担赔偿责任。
- 保险公司在支付这些赔偿后，有权就垫付的抢救费用以及可能的其他相关费用向肇事逃逸的致害人进行追偿。
实际操作：
- 若您作为肇事逃逸者已经自行支付了赔偿款，而这部分赔偿原本应由交强险承担，那么理论上您有权向保险公司申请追偿这部分费用，但前提是保险公司尚未就此进行赔付。
- 如果保险公司已经向受害人支付了赔偿，那么它将有权向您追偿这部分费用。
二、商业险部分（特别是第三者责任险）
赔偿规定：
- 商业险合同，如第三者责任险，通常会将肇事逃逸列为免责条款。如果保险合同中明确规定了肇事逃逸为免责事由，并且保险公司已经履行了提示和明确说明义务，那么在肇事逃逸的情况下，保险公司无需对受害人的损失进行赔偿。
追偿问题：
- 由于商业险在肇事逃逸时通常不承担赔偿责任，因此也就不存在您向保险公司追偿商业险赔偿款的问题。
- 如果您错误地认为保险公司会承担商业险赔偿而自行支付了赔偿款，那么这部分费用将无法从保险公司处获得追偿。
三、总结与建议
- 肇事逃逸是严重的违法行为，不仅会影响保险公司的赔偿责任，还可能导致您面临更严重的法律责任和民事赔偿。
- 在发生交通事故后，切勿选择逃逸，而应及时报警并配合处理。
- 对于保险赔偿问题，建议您仔细阅读保险合同条款，了解保险责任与免责范围，并在需要时咨询专业的法律人士或机构。
综上所述，驾驶员肇事逃逸后自行支付的赔偿款能否向保险公司追偿，取决于具体的保险类型（交强险或商业险）以及保险合同的约定。在交强险范围内，您有可能获得追偿；但在商业险范围内，由于通常存在免责条款，因此追偿的可能性较小。