公司与公司之间诉讼，通常应执行对公账户，而非法人私人账户。以下是对此问题的详细分析：

一. 公司法人独立地位

1. 法人独立财产权：根据《公司法》第三条，公司是企业法人，有独立的法人财产，享有法人财产权。公司以其全部财产对公司的债务承担责任。这意味着公司的财产与法人的个人财产是分离的。
2. 诉讼主体是公司：在公司与公司之间的诉讼中，诉讼的主体是公司，而非公司的法人。因此，执行的对象应当是公司的财产，即对公账户。

二. 执行对公账户的依据

1. 判决的执行：如果公司之间的诉讼有了生效的判决，那么执行法院会根据判决来冻结或划拨公司的财产。这些财产通常是对公账户中的资金。
2. 避免混淆财产：执行对公账户可以确保不会混淆公司的财产与法人的个人财产，从而保护双方当事人的合法权益。

三. 法人私人账户的执行情况

1. 特定情况下的执行：在极少数情况下，如果法人的私人账户与公司账户存在混同，或者法人利用私人账户逃避公司债务，那么执行法院可能会根据具体情况，对法人的私人账户采取执行措施。
2. 证据要求严格：要执行法人的私人账户，必须提供充分的证据证明该账户与公司账户存在混同或用于逃避债务。这通常需要经过严格的法律程序和审查。

综上所述，在公司与公司之间的诉讼中，应执行对公账户，而非法人私人账户。这是基于公司法人的独立地位和执行程序的法律规定。如果涉及特殊情况，需要执行法人的私人账户，必须提供充分的证据并经过严格的法律程序。如有进一步需要，您可以继续咨询我。