当公司私自开除员工，即违法解除劳动合同时，公司或用人单位需按照一系列规定向员工支付赔偿金及其他可能的补偿。以下是对此问题的详细解答：
赔偿金的计算与支付
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位若违反法律规定解除或终止劳动合同，应依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
计算方式：
- 经济补偿的计算基于劳动者在本单位的工作年限。具体为：每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，这包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。
特殊情况：
- 若劳动者的月工资高于所在直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按月平均工资三倍的数额支付，且经济补偿的年限最高不超过十二年。
代通知金的支付
- 如果用人单位未提前一个月通知劳动者解除劳动合同，那么还需额外支付一个月的工资作为代通知金。
维权途径
对于劳动者来说，若遭遇违法解除劳动合同的情况，可以采取以下步骤来维护自己的权益：
- 协商：首先尝试与用人单位协商赔偿事宜。
- 投诉与仲裁：若协商不成，可以向当地的劳动监察部门投诉，或向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 诉讼：对仲裁结果不服的劳动者，有权向人民法院提起诉讼。
其他可能的补偿
除了上述的赔偿金和代通知金外，劳动者还可能获得以下补偿：
- 应得工资及福利：公司在解除劳动合同之日应一次性支付员工应得的工资及未享受的福利待遇。
- 额外损失赔偿：如员工因被无故开除而遭受其他损失（如寻找新工作的费用），公司也应予以赔偿。
- 工伤相关补助金：若员工在医疗期满后丧失或部分丧失劳动能力，公司还需支付一次性工伤医疗补助金和伤残就业补助金。
总结与建议
公司私自开除员工是违法行为，并需承担相应的法律责任。劳动者在遭遇此类情况时，应了解自己的权益，并通过合法途径来维护。同时，也建议劳动者在遇到复杂或难以解决的问题时，寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到更有效的保护。