医院没有权利因为不做亲子鉴定而拒绝开具出生证明。以下是对此问题的详细分析：

一. 医院出具出生证明的职责

1. 法律依据明确：根据《中华人民共和国母婴保健法》第二十三条，医疗保健机构和从事家庭接生的人员有义务按照国务院卫生行政部门的规定，出具统一制发的新生儿出生医学证明。这是医院的法定职责，不因其他因素而改变。

2. 出生证明的重要性：出生证明是新生儿的重要身份证明，对于孩子的户籍登记、疫苗接种、教育入学等都具有重要作用。医院无权因非法定理由拒绝出具。

二. 亲子鉴定与出生证明的关系

1. 非必要条件：亲子鉴定并非出具出生证明的必要条件。医院在出具出生证明时，主要依据的是产妇的分娩记录和新生儿的出生情况，而不是亲子鉴定结果。

2. 特殊情况处理：当然，如果存在特殊情况，如新生儿身份存疑、产妇无法提供有效身份证明等，医院可能会要求进行亲子鉴定以确认新生儿身份。但这并不意味着医院有权普遍要求亲子鉴定作为出具出生证明的前提。

三. 应对措施

1. 沟通解决：如果医院以不做亲子鉴定为由拒绝出具出生证明，家长应首先与医院进行沟通，了解具体原因，并尝试通过补充材料、解释情况等方式解决问题。

2. 投诉与维权：如果沟通无果，家长可以向当地卫生健康委员会等卫生行政部门投诉，要求医院履行其法定职责。必要时，还可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。

综上所述，医院没有权利因为不做亲子鉴定而拒绝开具出生证明。家长在遇到此类问题时，应依法维权，确保孩子的合法权益不受侵犯。如有进一步需要，您可以继续咨询我。