针对您提出的“监外执行人员私自外出怎么处理”的问题，以下是我根据相关法律法规和监管规定，为您提供的详细解答：
首先，被暂予监外执行的人员，在享受相对自由的同时，必须严格遵守相关法律法规和监管规定。其中，未经批准不得擅自离开所居住的市、县是一项至关重要的要求。若违反此规定私自外出，将可能面临一系列严重的法律后果。
一、初步惩戒措施
社区矫正机构在发现监外执行人员私自外出的行为后，首先会采取警告的惩戒措施。根据《社区矫正法实施办法》，社区矫正对象未经批准离开所居住市、县的，将会受到警告处分，并记录在案。这一措施旨在通过警示作用，促使社区矫正对象遵守监管规定，及时纠正错误行为。
二、治安管理处罚
若私自外出的行为同时违反了治安管理相关规定，如在外出过程中有扰乱公共秩序、妨害公共安全等行为的，监外执行人员可能会受到《中华人民共和国治安管理处罚法》的制裁。具体处罚形式包括警告、罚款，甚至行政拘留，这取决于具体情节和行为的严重性。
三、收监执行
最为严重的是，如果私自外出情节严重，将会被决定收监执行。以下情形通常会被认定为情节严重：
一旦被决定收监执行，暂予监外执行的罪犯将被重新收押至监狱等执行场所继续执行剩余刑期。值得注意的是，对于人民法院决定暂予监外执行的罪犯应当予以收监的，由人民法院作出决定，并将相关的法律文书送达公安机关、监狱或其他执行机关。此外，如果罪犯不符合暂予监外执行条件却通过贿赂等非法手段被暂予监外执行，在监外执行的期间将不计入执行刑期。
四、实际案例警示
以实际案例为例，某罪犯因患有严重疾病被暂予监外执行。然而，在监外执行期间，他未经批准多次私自前往外地，且在社区矫正机构多次警告后仍不改正，累计脱离监管超过规定期限。在这种情况下，相关部门依法决定对其收监执行，让其回到监狱继续服刑。这一案例再次提醒我们，被暂予监外执行的人员应严格遵守相关规定，避免私自外出，以免失去宝贵的监外执行机会，并不得不回到监狱继续服刑。
综上所述，被暂予监外执行的人员应严格遵守相关法律法规和监管规定，避免私自外出。否则，不仅可能面临警告、治安管理处罚等轻微惩戒，更有可能因情节严重而被收监执行。因此，建议被暂予监外执行的人员务必珍惜这一机会，严格遵守规定，确保自己的监外执行顺利进行。