公司可以申请查询员工的无犯罪记录，但无法直接开具证明，这一职责由公安机关承担。以下是针对此问题的详细分析：

一. 无犯罪记录证明的性质与出具机构

1. 性质：无犯罪记录证明是公安机关根据公民个人违法犯罪记录情况，依申请出具的具有法律效力的证明文件。
2. 出具机构：此证明由申请人户籍所在地或经常居住地的公安派出所出具，因其具备统一且权威的犯罪记录信息管理系统和核查能力。

二. 单位申请查询员工犯罪记录的相关规定

1. 查询条件：单位可以依法查询本单位在职人员或者拟招录人员的犯罪记录，但需符合法律、行政法规关于从业禁止的规定。
2. 所需材料：
   • 单位介绍信；
   • 经办人有效身份证明；
   • 《查询申请表》；
   • 被查询对象系单位在职人员、拟招录人员的有关材料或者被查询对象的授权材料。
3. 查询流程：单位需携带上述材料至公安机关申请查询，公安机关将依据相关规定和程序进行查询，并出具相应的证明文件。

三. 重要提示

• 公司不能自行开具无犯罪记录证明，必须由公安机关出具，以确保其真实性和准确性。
• 公安机关在出具证明时，会严格核实申请人的身份信息和犯罪记录情况，确保证明内容的权威性与公信力。

综上所述，公司可以申请查询员工的无犯罪记录，但无法直接开具证明。如有进一步需要，您可以继续咨询我。