可以起诉要求分担大病医疗费用。即使在无需支付抚养费的期间，如果子女发生了大病医疗支出，且该支出超出了父母一方单独承担的能力，另一方仍有可能被要求分担这部分费用。以下是对这一问题的详细分析：

1. 法律原则：

   • 父母对子女有抚养教育的义务，这包括提供必要的生活条件、医疗照顾等。
   • 即使在某些情况下，如父母离婚、分居等，导致一方不直接抚养子女，但该方仍应承担相应的抚养责任，包括在子女需要时提供经济支持。

2. 大病医疗费用的特殊性：

   • 大病医疗费用通常数额较大，可能超出单个家庭或个人的承受能力。
   • 这类费用往往具有突发性和不可预测性，对家庭的经济状况造成较大影响。

3. 起诉分担的法律依据：

   • 根据《民法典》等相关法律规定，父母对子女的抚养义务是法定的，不因任何情况而免除。
   • 如果一方在子女大病期间未履行抚养义务，或未按照约定分担医疗费用，另一方有权向法院提起诉讼，要求对方承担相应的责任。

4. 实际操作建议：

   • 在起诉前，建议双方先通过协商或调解的方式解决争议，尽量达成共识。
   • 如果协商无果，可以收集相关证据（如医疗费用票据、诊断证明等），向法院提起诉讼，要求对方分担医疗费用。
   • 在诉讼过程中，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的权益得到充分保障。

综上所述，即使在无需支付抚养费的期间，如果子女发生了大病医疗支出，且该支出超出了父母一方单独承担的能力，另一方仍有可能被要求分担这部分费用。如果双方无法就分担问题达成一致，可以通过法律途径解决争议。