公安机关做精神病鉴定停止羁押的规定应当告知检察机关。以下是对此问题的详细分析：

一. 法律规定与司法实践中的差异

1. 检察院《刑事诉讼规则》的规定：公安机关对犯罪嫌疑人开展精神病鉴定时，没有书面通知人民检察院和看守所，检察院应当依法提出纠正意见。这表明，从检察院的角度，认为通知检察机关是必要的。
2. 公安部《公安机关适用刑事羁押期限规定》的内容：该规定只明确了办案部门因精神病鉴定暂停和恢复计算侦查羁押期限的需要通知看守所，并未提及检察机关。这导致了司法实践中衔接不顺畅的问题。

二. 权利保障与监督的重要性

• 精神病鉴定期间不计入办案期限，但此期间犯罪嫌疑人的合法权益仍需得到保障。若公安机关在启动精神病鉴定程序时不通知检察机关，将可能导致检察机关无法及时进行监督，进而可能侵犯犯罪嫌疑人的合法权益。
• 同步监督的缺失可能使得刑拘期限届满后，犯罪嫌疑人的强制措施未得到及时变更，造成隐性超期羁押，这也是对犯罪嫌疑人期限权益的损害。

三. 我的观点与建议

• 加强同步监督：为了确保犯罪嫌疑人的合法权益得到及时有效的保障，公安机关在决定对犯罪嫌疑人开展精神病司法鉴定后，应当书面通知检察院，由检察院开展同步监督。
• 完善法律规定：鉴于当前法律规定存在的差异，建议相关部门对相关规定进行修订，明确公安机关在启动精神病鉴定程序时必须通知检察机关，以确保监督的及时性和有效性。

综上所述，公安机关在做精神病鉴定停止羁押的规定时，应当告知检察机关，以确保犯罪嫌疑人的合法权益得到及时有效的保障。如有进一步需要，您可以继续咨询我。