银行卡被盗刷的管辖单位主要是当地的公安机关。具体来讲：

1. 盗刷案件的管辖：

   • 盗刷案件通常由犯罪地的公安机关管辖。犯罪地包括犯罪行为地和犯罪结果地。
   • 如果由犯罪嫌疑人居住地的公安机关管辖更为适宜，也可以由犯罪嫌疑人居住地的公安机关管辖。

2. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，盗窃公私财物，数额较大或者多次盗窃的，构成盗窃罪，将受到相应的刑事处罚。
   • 盗刷银行卡的行为，如果涉及盗窃并使用的，涉嫌盗窃罪；如果是伪造信用卡或者冒用他人信用卡的，涉嫌信用卡诈骗罪。

3. 民事诉讼的管辖：

   • 如果储户因银行卡被盗刷而提起民事诉讼，要求银行或其他相关方承担责任，则需要根据民事诉讼法的相关规定确定管辖法院。
   • 一般来说，可以基于储蓄合同纠纷或侵权责任纠纷提起诉讼，管辖法院可能是被告住所地法院、合同履行地法院或侵权行为地法院。

综上所述，银行卡被盗刷后，应及时向当地的公安机关报案，由公安机关进行立案侦查。如果涉及民事诉讼，则需要根据具体情况确定管辖法院。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。