擅自开除员工，即违法解除劳动合同，用人单位需承担相应的法律责任。以下是对此问题的详细解答：

一、赔偿金的计算与支付

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反法律规定解除或终止劳动合同的，应依照该法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

• 经济补偿的计算：依据劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

二、工作年限与月工资的确定

• 工作年限：自劳动者入职之日起计算，包括劳动合同期内及依法顺延的期间。
• 月工资：指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包含计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。若平均工资低于当地最低工资标准，则按最低工资标准计算；若工作不满12个月，按实际工作的月数计算。

三、特殊情况的补偿限制

若劳动者月工资高于所在直辖市或设区的市级人民政府公布的上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿按月平均工资三倍的数额支付，且补偿年限最高不超过十二年。

四、代通知金的支付

如用人单位未提前一个月通知劳动者解除劳动合同，还需额外支付一个月的工资作为代通知金。

五、维权途径

劳动者遭遇违法解除劳动合同时，可采取以下途径维权：

1. 协商：首先与用人单位协商赔偿事宜。
2. 投诉：协商不成时，可向劳动监察部门投诉。
3. 仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，需提交仲裁申请书及相关证据，如劳动合同、工资条等。
4. 诉讼：对仲裁结果不服的，有权向人民法院提起诉讼。

六、实例说明

假设员工月工资为5000元，在单位工作3年被违法辞退，赔偿金计算如下：5000元/月 × 3年 × 2 = 30000元。

七、专业法律咨询的重要性

本解答提供的是一般性建议，不能替代专业的法律咨询。遇到类似问题，建议尽快寻求专业律师的帮助，以更有效地保护自身权益。

综上所述，用人单位擅自开除员工是违法行为，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金，并可能额外支付一个月的代通知金。劳动者应了解自身权益，通过合法途径维护自身利益。