如果交警不肯开具垫付通知书，您可以采取以下措施来处理这个问题：

首先，尝试与交警部门进行深入沟通。了解他们为何不愿开具垫付通知书的具体原因，有可能是因为某些材料不齐全或者对事故责任划分存在疑问。将您的实际情况和困难详细告知交警，强调开具垫付通知书对于伤者及时获得救治的重要性，并请求他们尽快处理。

如果与交警部门的沟通没有取得预期效果，您可以联系保险公司，直接咨询关于垫付的政策和流程。根据《机动车交通事故责任强制保险条例》的相关规定，保险公司在接到公安机关交通管理部门通知后，有义务及时向医疗机构支付或垫付抢救费用。因此，您可以尝试直接向保险公司申请垫付，同时提供必要的事故证明和医疗费用单据等材料。

如果上述两种方法都无法解决问题，那么您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。您可以向当地的人民法院提起诉讼，要求交警部门履行其法定职责，即开具垫付通知书。在诉讼过程中，您需要提供充分的证据来证明自己的诉求是合理的，比如事故现场照片、医疗费用单据、与交警部门的沟通记录等。

此外，您还可以考虑向相关部门进行投诉或举报，比如向公安机关交通管理部门的上级机关或者纪检监察部门反映问题。这些部门会对您的投诉进行调查，并根据实际情况给出相应的处理意见。

总之，面对交警不肯开具垫付通知书的情况，您应该保持冷静，采取合理有效的措施来解决问题。同时，也要注意保留好相关证据和材料，以便在后续的处理过程中维护自己的合法权益。