在厂房旁边的农田里挖下水道是否违法，取决于多个因素，包括土地性质、挖下水道的行为是否获得批准以及是否违反相关规划等。下面我将从几个角度进行详细分析：

1. 土地性质与用途：

   • 如果厂房旁边的农田属于农用地，且未依法转为建设用地，那么在农田上挖下水道可能涉及改变土地用途，这是违法的。因为农用地主要用于农业生产，不得擅自改变为其他用途。
   • 如果该农田已经依法转为建设用地，或者原本就是建设用地（如厂房用地），并且挖下水道的行为符合该地块的建设规划，那么挖下水道就不违法。

2. 批准与许可：

   • 无论土地性质如何，挖下水道通常都需要获得相关部门的批准或许可。这包括但不限于土地管理部门、建设规划部门以及环保部门等。如果未获得批准或许可就擅自挖下水道，那么这一行为就是违法的。

3. 相关规划与规定：

   • 挖下水道还需要考虑是否违反当地的建设规划、环保规定等。如果下水道的建设会破坏当地的生态环境、影响其他土地的使用或者违反其他相关规定，那么这一行为也是违法的。

综上所述，在厂房旁边的农田里挖下水道是否违法，需要综合考虑土地性质、挖下水道的行为是否获得批准以及是否违反相关规划等多个因素。如果你不确定自己的行为是否合法，建议咨询当地的相关部门或者专业律师，以避免不必要的法律风险。