面对医院辞去行政职务但不辞职的情况，我们可以从多个角度来分析并给出建议。

首先，明确法律权利：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者有权提前通知用人单位解除劳动合同。具体来说，如果是正式员工，通常需要提前三十日以书面形式通知医院；如果是在试用期内，则提前三日通知即可。这是劳动者的法定权利，医院应当尊重并配合。

接下来，分析医院不办理辞职的可能原因：医院可能出于各种原因不愿意或拖延办理辞职手续，比如人手不足、对辞职理由不满意、希望挽留员工等。了解这些原因有助于我们采取更有针对性的措施。

针对这种情况，你可以采取以下步骤来维护自己的权益：

1. 与医院沟通协商：

   • 首先尝试与直属领导或人事部门沟通，明确表达你的辞职意愿和原因，并询问不办理辞职手续的具体原因。
   • 表明自己愿意积极配合做好工作交接，争取医院的理解和支持。

2. 书面催告：

   • 如果沟通无果，可以向医院发出书面催告函，明确指出你已履行辞职程序，并要求在一定期限内办理离职相关手续。
   • 催告函应通过可靠方式发送，并保留寄送凭证和回执作为证据。

3. 向劳动监察部门投诉：

   • 若医院仍未办理辞职手续，你可以向当地劳动监察部门投诉，请求对医院的违法行为进行调查和处理。
   • 提供详细的辞职经过和证据，以便劳动监察部门能够更好地了解你的情况并作出处理。

4. 申请劳动仲裁：

   • 如果投诉后问题仍未解决，你可以根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
   • 在仲裁申请中，明确列出你的仲裁请求和事实理由，并提供相关证据支持你的主张。

5. 提起诉讼：

   • 若对仲裁结果不满意，你可以在规定时间内向有管辖权的人民法院提起诉讼。
   • 在诉讼过程中，你需要进一步阐述你的诉讼请求和事实理由，并接受法院的审理和判决。

在整个过程中，保留证据至关重要。你应妥善保留所有与辞职相关的证据，包括辞职申请书、沟通记录、催告函、邮件、短信、劳动仲裁或诉讼材料等。这些证据将在维护权益时起到关键作用。

综上所述，面对医院辞去行政职务但不辞职的情况，你应首先明确自己的法律权利，然后与医院进行沟通协商。若协商无果，可依次采取书面催告、向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁乃至提起诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。同时，务必注重证据的保留和收集。如果你在这个过程中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。