对于孩子母亲离家出走后在医院看病欠钱不还的情况，医院有权要求其支付所欠医疗费用。下面我将分情况详细分析：

一. 欠付医疗费用属于金钱债务

• 根据《中华人民共和国民法典》第五百七十九条，当事人一方未支付价款、报酬、租金、利息，或者不履行其他金钱债务的，对方可以请求其支付。在此情况下，孩子母亲在医院看病后欠付的医疗费用即属于未履行的金钱债务，医院有权要求其支付。

二. 处理建议

1. 与欠款人沟通：首先，建议医院或相关责任人尝试与孩子母亲进行沟通，了解其离家出走的原因及目前的经济状况，看是否能够达成还款协议或分期付款的安排。
2. 法律途径追讨：若沟通无果，医院可以通过法律途径追讨欠款，例如向法院提起诉讼，要求判决孩子母亲支付所欠医疗费用。在诉讼过程中，医院需提供相关证据，如医疗费用清单、治疗记录等，以证明欠款事实。
3. 考虑特殊情况：若孩子母亲确实因经济困难或其他特殊原因无法支付医疗费用，医院可酌情考虑是否给予减免或延期支付的安排。但这需基于医院的具体政策和实际情况来决定。

三. 注意事项

• 在处理此类问题时，医院应确保遵守相关法律法规，不得采取非法手段进行追讨。
• 同时，也应注意保护患者的隐私权和合法权益，避免在追讨过程中造成不必要的纷争和损害。

我建议医院在追讨欠款时，应综合考虑法律、人情及实际情况，采取合理、合法的措施进行。如有进一步需要，您可以继续咨询我。