第三人为交通事故的伤者垫付医疗费后，有权起诉肇事者追偿垫付的医疗费用。以下是对此问题的详细分析：

一. 垫付医疗费后的追偿权

根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十五条，若肇事车辆已参加机动车第三者责任强制保险（简称“交强险”），保险公司在责任限额范围内有义务支付抢救费用。若抢救费用超出责任限额，或者车辆未参保或肇事后逃逸，道路交通事故社会救助基金将会先行垫付部分或全部抢救费用。此时，垫付的机构或个人有权向交通事故责任人追偿。

• 实例说明：假设张某在交通事故中为伤者李某垫付了10000元医疗费，而肇事车辆参加了交强险，但保险赔偿限额不足以覆盖全部费用。此时，张某有权依据上述法律规定，向肇事者追偿其垫付的10000元医疗费。

二. 第三人起诉肇事者的法律依据

1. 民事赔偿责任

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百七十九条，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。因此，肇事者对伤者负有法定的赔偿义务，这同样适用于垫付医疗费的第三人。

2. 追偿权的行使

   • 当第三人垫付了医疗费后，实际上代替了肇事者履行了部分赔偿义务。第三人因此取得了对肇事者的追偿权，有权通过法律途径要求肇事者偿还其垫付的费用。

三. 起诉肇事者的具体步骤

1. 收集证据

   • 垫付方应保留好相关证据，如垫付凭证（如银行转账记录、医院收据等）、医疗费用清单、事故责任认定书等，以证明其垫付行为和金额，以及肇事者的责任。

2. 协商与调解

   • 在起诉前，垫付方可以尝试与肇事者进行协商，要求其偿还垫付的医疗费用。如果协商不成，还可以请求公安机关交通管理部门进行调解。

3. 提起诉讼

   • 如果协商和调解均无果，垫付方可以向人民法院提起诉讼，要求肇事者偿还其垫付的医疗费用。在诉讼过程中，垫付方需要提交充分的证据来支持其诉讼请求。

四. 注意事项

• 诉讼时效：垫付方应及时向肇事者提出追偿请求，避免超过法定的诉讼时效。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，诉讼时效期间一般为三年，自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。

• 法律咨询：在处理此类纠纷时，垫付方可以咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。

我的观点：第三人为交通事故的伤者垫付医疗费后，完全有权起诉肇事者追偿垫付的费用。在行使追偿权时，垫付方应充分了解自己的权利和法律程序，积极采取措施维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。