当申请人提出撤回仲裁请求时，整个处理流程需要遵循一定的规则和程序，以确保双方的权益得到妥善处理。以下是对这一问题的详细解答：

一、撤回仲裁请求的处理流程

1. 提交书面撤回申请：

   • 申请人需要向仲裁机构递交书面的撤回仲裁申请，明确表示其撤回仲裁请求的意愿。

2. 仲裁庭审查：

   • 仲裁庭在收到撤回申请后，会仔细审查申请人的撤回意愿是否真实且合法。这一步骤是为了确保撤回请求是出于申请人自愿，且没有违反任何法律法规或仲裁规则。

3. 准予撤回与程序终止：

   • 如果仲裁庭确认申请人的撤回意愿是真实且合法的，会准予撤回，并随即终止仲裁程序。这意味着仲裁庭将不再对案件进行审理和作出裁决。

4. 后续处理：

   • 撤回请求并不代表纠纷已彻底解决。如果后续双方仍有争议，可以通过其他方式（如协商、调解、诉讼等）来处理。

二、撤回仲裁请求对后续权利主张的影响

• 撤回仲裁请求可能会对申请人后续的权利主张产生影响。因此，在作出撤回决定前，申请人应谨慎思考，确保这一决定符合其自身利益，并了解可能带来的法律后果。

三、费用退还问题

• 依据《仲裁委员会仲裁收费办法》，申请人撤回仲裁请求后，仲裁费用的退还根据具体情况而定。
  • 如果仲裁庭组成前撤回，仲裁委员会可能会根据实际情况酌情退还部分预收的仲裁费用，退还比例通常较高。
  • 如果仲裁庭组成后撤回，由于仲裁机构已投入较多人力、物力开展仲裁工作，退还费用比例通常较低，可能仅退还未实际发生的费用。
• 具体退费标准需参照仲裁机构的仲裁规则，不同仲裁机构规定可能存在差异。申请人应及时与仲裁委员会沟通，了解具体退费金额和办理流程。

四、特别注意事项

• 各个仲裁机构在撤回申请的具体要求以及处理方式方面可能会存在一些细微差别。申请人务必依照所涉及仲裁机构的规定和要求提交相关材料，并严格遵守仲裁程序的相关规定。
• 如果撤回申请后，申请人又以同一事实和理由再次申请仲裁，仲裁委员会通常是不会受理的。但撤回仲裁申请并不影响仲裁协议的效力，当事人依然可以依据该协议就同一纠纷再次申请仲裁或者向法院提起诉讼。

综上所述，当申请人提出撤回仲裁请求时，应明确了解并遵循相关的处理流程和规则，以确保双方的权益得到妥善保护。同时，申请人也应谨慎考虑撤回请求可能带来的法律后果，并据此作出明智的决策。