当滴滴司机遭遇追尾事故并希望对方赔偿停运险时，可以按照以下步骤进行操作：
一、确认合法运营资质
首先，要确保自己的车辆具备合法的营运资质。这通常包括《网络预约出租汽车运输证》（车证）和《网络预约出租汽车驾驶员证》（人证）。双证齐全是索赔的前提，缺一不可。
二、收集关键证据
事故责任认定：确保交通管理部门已经对事故进行了责任认定，并获取了相关的事故责任认定书，明确对方为全责方。
维修证明：车辆因事故需要维修时，应到正规维修厂进行维修，并获取车辆进厂日期证明、维修清单（体现工时）、出厂合格证明或提车单等，以证明车辆的合理停运天数。
收入证明：为了计算停运损失，需要提供营运的纯利润证明。如果无法直接提供日损失额的有效证据，可以参照事故发生地“上一年度交通运输行业在岗职工年平均工资”来计算日平均工资作为赔偿标准。
三、明确赔付主体
一般原则：停运损失系间接财产损失，不计入交强险赔偿范围。如果商业三者险保险公司已就停运损失免赔的条款对投保人作出了提示和明确说明，保险公司应在商业险范围内免责，此时停运损失的赔偿主体一般是侵权方（肇事司机/车主）。
特殊情况：如果保险公司未充分履行“提示和明确说明义务”，法院可能会判定保险公司在商业三者险限额内赔偿停运损失。但这种情况相对较少，需要具体案情具体分析。
公务车辆：如果追尾车辆是公务车辆（如警察巡逻车），在执行职务中发生侵权，由所属行政机关承担赔偿责任。
四、协商或诉讼
协商：最便捷的方式是与对方进行协商，双方可以根据实际情况就停运损失的赔偿金额进行谈判。在协商过程中，建议保持理性，适当让步，以尽快达成和解。
诉讼：如果协商不成，滴滴司机可以到事故发生地的法院起诉对方，维护自身权益。在起诉时，需要准备充分的证据材料，包括事故责任认定书、维修证明、收入证明等。
综上所述，滴滴司机在遭遇追尾事故并希望对方赔偿停运险时，应首先确认自己的合法运营资质，并收集关键证据以证明停运损失。然后明确赔付主体，并与对方进行协商或诉讼以维护自身权益。