该行为一般不构成诈骗，更可能属于合同纠纷或虚假宣传。下面对此进行详细分析：

一. 不构成诈骗

1. 诈骗的定义：诈骗通常是指以非法占有为目的，通过虚构事实或隐瞒真相的方式，使他人产生错误认识，并基于这种错误认识而处分财产的行为。
2. 本案分析：在描述的情形中，如果是商家在宣传时承诺“首月0元或1元”，但实际收取的是第二个月的钱，这更多可能是商家在营销手段上的误导或虚假宣传，而并非以非法占有为目的的诈骗行为。商家可能只是利用了消费者对“首月优惠”的误解，来诱导消费者进行消费，但并未直接骗取消费者的财物。

二. 可能构成合同纠纷或虚假宣传

1. 合同纠纷：如果商家在合同中明确承诺了“首月0元或1元”，但实际执行时却收取了第二个月的钱，这就构成了合同违约。消费者可以依据合同法的相关规定，要求商家承担违约责任，如退还多收的钱款、赔偿损失等。

    - **法律依据**：《中华人民共和国民法典》第五百七十七条：“当事人一方不履行合同义务或者履行合同义务不符合约定的，应当承担继续履行、采取补救措施或者赔偿损失等违约责任。”
   

2. 虚假宣传：如果商家在宣传时故意误导消费者，使消费者产生了“首月0元或1元”的错误认识，并基于这种错误认识而进行了消费，那么商家的行为就可能构成虚假宣传。消费者可以依据消费者权益保护法的相关规定，要求商家承担相应的法律责任，如赔偿损失、消除影响等。

    - **法律依据**：《中华人民共和国消费者权益保护法》第二十条第一款：“经营者向消费者提供有关商品或者服务的质量、性能、用途、有效期限等信息，应当真实、全面，不得作虚假或者引人误解的宣传。”
   

我建议，你可以先尝试与商家进行沟通，要求商家解释清楚收费的原因，并退还多收的钱款。如果商家不予理睬或拒绝退款，你可以考虑向消费者协会或市场监管部门进行投诉，或者通过法律途径来维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。