银行工作人员是否可以代理给父母完成存款任务，这个问题实际上涉及到银行业务代理的常规规定以及可能的特殊情况处理。

首先，从银行业务代理的一般原则来看，通常情况下，银行允许客户委托他人代为办理某些银行业务，比如存款、取款、转账等。这种代理行为通常需要提供委托人的有效身份证明、代理人的有效身份证明以及委托书等必要文件。然而，这些规定可能因银行而异，也可能因具体的业务类型而有所不同。

对于给父母完成存款任务这一特定情况，如果父母因为身体原因、行动不便或其他特殊原因无法亲自到银行办理存款，那么理论上是可以委托银行工作人员或其他信任的人代为办理的。但这种情况下，通常需要提供父母的身份证明、委托书以及可能的其他相关文件。

另外，值得注意的是，有些银行可能会针对老年人或特殊客户群体提供特殊的上门服务或便利措施。例如，有些银行的工作人员可以上门为老年人办理银行业务，包括存款、取款等。这种服务通常是为了方便那些行动不便或无法亲自到银行办理业务的客户。

不过，具体到您的情况，是否可以由银行工作人员代理给父母完成存款任务，还需要考虑以下几个因素：

1. 您所在银行的具体规定：不同的银行可能有不同的代理业务规定，建议您咨询您所在银行的具体要求。

2. 父母的身体状况和意愿：如果父母身体状况良好且愿意亲自到银行办理业务，那么可能无需代理。但如果他们因为某些原因无法亲自办理，那么代理可能是一个可行的选择。

3. 委托书和身份证明：无论是由银行工作人员还是其他人代为办理业务，通常都需要提供委托书和身份证明等必要文件。

综上所述，银行工作人员在特定情况下是可以代理给父母完成存款任务的，但具体是否可行还需要根据您所在银行的规定以及父母的身体状况和意愿来确定。同时，建议您在办理前咨询银行工作人员以获取更详细的信息和指导。