未成年人故意伤人的处理方式主要依据其年龄、伤害程度以及具体情节来判定。以下是对此问题的详细解答：
一、处理方式依据
年龄因素：
- 已满十四周岁但不满十六周岁的未成年人，若犯有故意杀人、故意伤害致人重伤或死亡、强奸、抢劫、贩卖毒品、放火、爆炸、投放危险物质等重罪，应承担刑事责任。
- 已满十二周岁但不满十四周岁的未成年人，若犯有故意杀人或故意伤害罪，且情节特别恶劣，经过最高人民检察院核准追诉后，也需承担刑事责任。
- 不满十八周岁的未成年人犯罪，一般应从轻或减轻处罚。
伤害程度：
- 伤害程度是决定未成年人是否承担刑事责任以及量刑轻重的重要因素。轻微伤害可能仅涉及民事赔偿，而重伤或死亡则可能涉及刑事责任。
二、法律责任
刑事责任：
- 根据《刑法》规定，已满十六周岁的未成年人犯罪应负刑事责任，但会从轻或减轻处罚。
- 对于不满十六周岁但犯有特定重罪的未成年人，也会根据法律规定承担相应的刑事责任。
民事责任：
- 无论未成年人是否承担刑事责任，其监护人都需承担民事赔偿责任，包括赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用。
三、后续处理
教育矫正：
- 对于因不满十六周岁而不予刑事处罚的未成年人，应责令其父母或其他监护人加强管教，并在必要时进行专门的矫治教育。
- 旨在帮助未成年人认识错误、改正行为，并回归社会。
法制教育和心理辅导：
- 对实施故意伤人的未成年人开展合适的法制教育和心理辅导是非常重要的。
- 这有助于他们增强法律意识，理解自己行为的后果，并学会以更健康的方式处理冲突和情绪。
综上所述，未成年人故意伤人的处理方式是一个综合考量的过程，涉及年龄、伤害程度、法律责任以及后续的教育矫正等多个方面。在处理此类案件时，应充分考虑未成年人的身心特点和发展需要，以教育、感化、挽救为主，减少对其成长的负面影响。