当九岁的孩子门牙连根磕掉时，家长或监护人应迅速而冷静地采取以下应急措施：

首先，立即找到脱落的牙齿。捏住牙冠部分，避免触碰牙根，因为牙根表面的牙周膜对再植的成功至关重要，但它非常脆弱，容易受损。

接着，清理牙齿。如果牙齿表面有脏污，应使用凉开水、生理盐水或低温牛奶（注意是纯牛奶，避免使用调味奶等）轻轻冲洗牙齿，千万不要用刷子刷洗或刮擦牙根部分，以保护牙周膜。

然后，尝试将牙齿放回原位。如果牙槽窝清晰且牙齿干净，可以尝试将牙齿放回原来的牙槽窝内，并用纱布或毛巾等咬住以固定牙齿。如果无法放回原位，可以将牙齿保存在低温牛奶、生理盐水中，或者让孩子含在舌下（注意避免吞咽），以保持牙根的湿润。

及时就医。这是至关重要的一步。应尽快将孩子送往医院口腔科，最好在牙齿脱位后的30分钟内到达，因为这段时间内再植的成功率较高。如果超过了2小时，再植的成功率会大大降低。

在就医之前，保持冷静并安抚孩子的情绪也是非常重要的，因为孩子的配合和情绪稳定对于治疗过程也有积极的影响。

最后，对于乳牙的外伤脱落，虽然一般不会考虑再植，但也需要尽快就医检查，以确保没有残根滞留，避免影响恒牙的发育。医生可能会建议制作间隙保持器，以保持牙齿间隙，为恒牙的正常萌出创造条件。

总之，当孩子门牙连根磕掉时，正确的应急处理和及时就医是关键。家长或监护人应保持冷静，迅速采取上述措施，并尽快将孩子送往医院接受专业治疗。