医院电梯的管理责任通常应由医院的行政管理部门或后勤部门来负责。这些部门负责医院设施的日常运营和维护，包括电梯这一关键设备。

具体来说，负责医院电梯的部门需要确保电梯的安全运行、定期维护、故障处理以及符合相关法规标准。他们可能会与专业的电梯维护保养公司签订合同，由后者提供定期的检查、保养和维修服务。同时，医院内部也应设有相应的电梯安全管理制度和应急预案，以确保在电梯发生故障或紧急情况时，能够迅速、有效地进行应对。

此外，根据《南昌市电梯安全管理条例》等地方性法规，市场监督管理部门作为电梯行业主管部门，负责电梯安全的监督管理工作。他们可能会定期对医院电梯进行安全检查，确保电梯符合安全技术规范，并对违反法规的行为进行处罚。

综上所述，医院电梯的管理责任主要由医院的行政管理部门或后勤部门承担，同时受市场监督管理部门的监督和指导。如果您对医院电梯的具体管理责任有疑问，建议咨询医院相关部门或当地市场监督管理部门以获取更准确的信息。