电梯监督检验主要由各地的市场监管部门负责，具体来说，是市场监管部门下的特种设备检验机构来执行。这些机构会严格按照相关的安全技术规范，如《电梯监督检验和定期检验规则》，对电梯进行安装监督检验、定期检验等工作，以确保电梯的质量安全性能。

以一份市场监管总局办公厅发布的关于住宅老旧电梯更新的通知为例，其中明确提到各地市场监管部门要督促特种设备检验机构对住宅老旧电梯更新进行严格的安装监督检验，包括执行重要试验项目、提升检验服务质量以及严格一致性查验等。这显示了市场监管部门在电梯监督检验中的主导地位和职责。

此外，电梯使用单位也需要配合市场监管部门的检验工作，按照规定的时间周期申报电梯检测，并接受检验机构的检验。对于检验中发现的问题，使用单位需要及时进行整改，以确保电梯的安全运行。

综上所述，电梯监督检验是由各地的市场监管部门负责，通过特种设备检验机构来具体实施，以保障电梯的质量安全和使用安全。