当您的外省银行卡在ATM机被吞时，您可以按照以下步骤进行处理：

首先，您需要确认吞卡的情况是否已经被银行自动记录。这通常可以通过银行的客户服务系统或相关应用程序进行查询。以中国建设银行为例，您可以通过“中国建设银行客户服务”公众号或微信端的95533进行查询。如果系统已经自动记录了吞卡情况，您可以直接查看详情了解具体情况。

如果系统未自动显示吞卡记录，您需要进行吞卡问题的反馈。在反馈时，您需要输入卡号并根据提示进行后续操作。请确保您提供的联系信息准确无误，以便银行能够及时与您取得联系。

接下来，您需要关注吞卡的处理进度。一旦吞卡处理状态显示为“待领卡”，您就可以根据网点提供的服务类型选择领取卡片的方式。一般来说，有两种方式可供选择：一是预约网点领取卡片，二是选择卡片邮寄到家（需注意部分地区可能未上线此服务）。

如果您选择邮寄到家服务，需要满足一定的条件，即吞卡处理状态已转变为“待领卡”，并且页面显示有“吞卡邮寄到家”的功能。在选择邮寄服务时，您需要提供详细的收件地址，并支付可能产生的快递费用。快递费用因收件地址不同可能存在差异，具体金额会在您确认信息无误后显示在页面上。

最后，请注意关注银行发送的快递单号短信，以便及时了解卡片的邮寄进度。如果在整个过程中有任何疑问或需要帮助，您可以随时通过银行的客户服务渠道进行咨询和反馈。

总之，当您的外省银行卡在ATM机被吞时，不要慌张，按照上述步骤进行操作即可。银行会尽力为您提供便捷、高效的服务来帮助您解决问题。