办退休和办医保退休是否可以次月一起办，主要取决于您所在地的具体政策和服务流程。不过，从多地推行的便民服务举措来看，越来越多的地区正在实现社保和医保退休手续的一站式或联合办理，以提高服务效率，减少群众跑腿次数。

以某些地区为例，如晋安区就推出了“社保医保共一窗 退休手续一趟办”的服务，通过流程再造和闭环审批，实现了社保和医保退休手续的同步办理。参保人员只需在社保医保联办窗口提交相关材料，后续流程将由工作人员在后台完成，大大减少了参保人员的跑腿次数和时间成本。

另外，像北京等地区也实现了退休“一件事”网上打包联办，包括养老金申领、医保待遇和公积金提取等事项都可以在网上一次性办理。这种服务模式不仅提高了办事效率，还方便了参保人员。

因此，建议您咨询当地的人社局、医保局或相关政务服务中心，了解您所在地的具体政策和服务流程。如果当地已经实现了社保和医保退休手续的一站式或联合办理，那么您很有可能可以在次月一起办理退休和医保退休手续。如果当地还没有实现这样的服务，您也可能需要分别办理，但具体的办理时间和流程还需以当地政策为准。