在夫妻双方分居期间，孩子的监护权问题是一个复杂且敏感的话题。首先，需要明确的是，父母双方都是未成年子女的监护人，并平等享有对未成年子女抚养、教育和保护的权利与义务。这一点在《中华人民共和国民法典》中有明确规定。

当夫妻双方分居时，虽然婚姻关系依旧存续，但实际已处于分开生活的状态。在这种情况下，孩子的抚养监护问题往往成为争议的焦点。为了妥善处理这一问题，可以参照适用民法典关于离婚后子女抚养的有关规定。

具体来说，如果夫妻双方分居期间，一方或者其近亲属擅自带走未成年子女，致使另一方无法与未成年子女相见，这种行为将构成对另一方因履行监护职责所产生的权利的侵害。此时，受害方有权向人民法院提起诉讼，请求保护其监护权利。

在法院处理此类监护权纠纷时，会综合考虑孩子的年龄、性别、健康状况、生活环境以及父母双方的抚养能力、抚养条件等因素，以最有利于被监护人的原则来确定暂时直接抚养未成年子女的一方。同时，法院也会明确暂时直接抚养未成年子女的一方有协助对方履行监护职责的义务，以保障另一方探望孩子的权利。

以指导性案例228号为例，张某与李某分居后，李某及祖母刘某擅自带走尚在哺乳期的孩子李某某，并拒绝张某探望。法院最终判决李某某暂由张某直接抚养，并明确李某可探望李某某，张某需对李某探望李某某予以协助配合。这一判决充分体现了最有利于被监护人的原则，也保护了父母双方的监护权利。

综上所述，夫妻双方分居期间孩子的监护权应归谁，并没有一个固定的答案。而是需要根据具体情况，由法院综合考虑各种因素后作出判决。但无论如何，父母双方都应承担起对未成年子女的抚养、教育和保护责任，共同为孩子的健康成长创造良好环境。