当医院电梯发生故障时，为确保人员安全和尽快恢复正常运行，应按照以下步骤进行处理：

一、初步响应与报告

1. 立即报告：一旦发现电梯故障，无论是医院工作人员还是患者、访客，都应立即通过医院内部的紧急通讯系统或直接联系后勤保障部门报告故障情况。

2. 确认情况：后勤保障部值班人员接到报告后，应迅速确认电梯故障的具体位置、故障类型以及是否有人员被困等信息。

二、紧急救援措施

1. 启动应急预案：根据医院制定的电梯困人应急预案，立即启动相应的救援程序。

2. 联系维修人员：后勤保障部应立即安排电梯维修人员进行故障排除。如果电梯维修人员无法立即到达或无法有效解救被困人员，应立即与电梯维保单位联系，请求专业救援。

3. 确保安全：在等待电梯维修人员或维保单位到来的过程中，应采取相应措施确保被困乘客的安全，如通过监控观察被困人员情况，通过对讲机或电话安抚被困人员，告知他们救援正在进行中，并让他们保持冷静。

4. 医疗准备：若被困人员中出现晕厥、神智昏迷等紧急情况，应立即通知医护人员到场，以便在被困人员救出后立即进行抢救。

三、故障处理与恢复

1. 解救被困人员：电梯维修人员或维保单位到达后，应迅速展开救援行动，安全、有效地解救被困人员。

2. 查明故障原因：被困人员救出后，应请电梯维保单位对电梯进行全面检查，查明故障原因，并进行修复。

3. 恢复运行：在确认电梯故障已完全修复，且经过必要的测试和检验后，方可恢复电梯的正常运行。

四、后续跟进与记录

1. 慰问与了解：医院分管领导应向被困人员表示慰问，并了解他们的身体状况和需要，确保他们得到适当的照顾和安慰。

2. 详细记录：值班人员应详细记录故障发生的时间、原因、解救办法和修复时间，以便后续分析和总结。

3. 加强巡查与维护：特别是在节日期间，应加强对电梯运行状况的巡查与维护，确保电梯的安全可靠运行。对于损坏或缺失的应急通信设备，应及时修复或更换。

五、监管与反馈

1. 加强监管：医院应加强对电梯维保单位的监管，确保其按照合同和规定进行定期维护和保养。

2. 反馈与改进：对于电梯故障处理过程中发现的问题和不足，应及时进行反馈和改进，以提高医院电梯的安全管理水平。

通过以上步骤，可以确保医院电梯故障得到及时、有效的处理，保障人员安全和电梯的正常运行。同时，也提醒广大市民朋友，在使用电梯时如遇到任何问题或异常情况，应立即停止使用并报告相关部门。