持刀伤人致轻微伤的情况，在法律上通常会受到以下几方面的处理：

首先，从民事赔偿的角度来看，被害人有权要求加害人赔偿因就医治疗而支出的各项费用，这包括但不限于医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费以及必要的营养费等。这些费用的计算会依据实际情况和提供的相应凭证来确定，比如医疗费会根据医疗机构出具的收款凭证来确定，误工费则会按照伤者实际减少的收入来计算。

其次，在行政责任方面，公安机关可以依据《治安管理处罚法》对加害人进行处罚。一般来说，持刀伤人致轻微伤的情况会处以五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款。如果情节较轻，可能会处五日以下拘留或者五百元以下罚款。但需要注意的是，如果存在结伙殴打、伤害他人等更恶劣的情形，处罚会更加严厉，可能会处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。

再者，虽然持刀伤人致轻微伤通常不构成故意伤害罪，不会面临刑事处罚，但如果加害人的行为具有多次、持械等特别恶劣的情节，也可能会构成故意伤害罪（轻伤），这时就需要依法追究刑事责任，可能会处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。

最后，具体的判决结果会综合考虑案件的各种因素，比如作案动机、手段、社会危害程度等。在案件处理过程中，双方当事人也可以在公安机关的主持下进行调解，如果达成协议并履行赔偿义务，公安机关可能不对加害人进行治安处罚。但如果调解不成，加害人将面临治安处罚并需要承担民事赔偿责任。

总的来说，持刀伤人致轻微伤的情况会涉及到民事赔偿、行政责任以及可能的刑事责任，具体的处理方式会根据案件的实际情况和法律规定来确定。