针对烧烤店排烟影响居民的问题，您可以向以下部门投诉以寻求解决方案：

1. 城管部门：

   • 法律依据：《城市管理执法办法》及相关地方法规。城管部门负责城市市容市貌和环境卫生的管理，对餐饮服务业油烟污染有行政处罚权。您可以向当地城管部门投诉烧烤店排烟影响居民生活的情况。

2. 生态环境部门（环保部门）：

   • 法律依据：《中华人民共和国大气污染防治法》。该法规定排放油烟的餐饮服务业经营者应安装并使用油烟净化设施，防止污染。生态环境部门负责监管环境污染问题，包括大气污染，有权对烧烤店进行检测，并要求其采取有效的油烟净化措施。

3. 市场监督管理部门（工商行政部门）：

   • 法律依据：《无证无照经营查处办法》及《中华人民共和国食品安全法》。如果烧烤店未取得合法经营证照或存在食品卫生问题，市场监督管理部门有权依法查处。同时，该部门也负责监管商家的经营行为，包括是否按照相关规定安装和使用合格的油烟净化设备。

4. 公安机关：

   • 在烧烤烟味严重扰民且涉及治安问题时，如噪音扰民、寻衅滋事等，您可以向公安机关举报。公安机关将根据实际情况进行调查处理，以维护社会治安秩序。

5. 社区居委会：

   • 虽然直接法律条文未明确提及，但社区居委会作为基层群众性自治组织，负责调解居民间纠纷，包括环境污染等扰民问题。向社区居委会投诉是合理的初步尝试，他们可能会协助您与烧烤店进行协商或引导您向相关部门投诉。

在投诉时，建议您详细描述油烟扰民的情况，包括时间、地点、影响程度等，并提供相关证据（如照片、视频等）。同时，注意保留投诉记录和处理结果，以便后续跟进或采取进一步措施。不同地区的具体投诉渠道和流程可能有所不同，您可以根据实际情况选择合适的投诉方式，并咨询当地相关部门了解具体流程。