针对您提出的关于合法经营烧烤店被投诉扰民的处理方法，以下是一些详细、有深度的建议，希望能帮助您妥善解决这一问题。
一、初步应对措施
保持冷静与理解：
- 首先，理解投诉者的立场和困扰，对给他们带来的不便表示歉意。
- 保持冷静，避免情绪化的回应，以积极的态度去面对问题。
立即自查与整改：
- 对烧烤店进行自查，确认是否存在噪音、油烟、占道经营等扰民行为。
- 如发现问题，立即采取措施进行整改，如调整营业时间、加强油烟净化、规范经营秩序等。
二、与投诉者沟通协商
直接沟通：
- 主动联系投诉者，以友好、诚恳的态度听取他们的意见和建议。
- 详细解释烧烤店的经营情况和已采取的整改措施，寻求他们的理解和支持。
第三方调解：
- 如直接沟通无果，可邀请居民委员会、业主委员会或其他相关调解机构介入，进行中立、公正的调解。
- 通过第三方调解，促使双方达成和解，化解矛盾。
三、向相关行政部门寻求帮助
明确投诉部门：
- 根据扰民的具体情形，确定应向哪个行政部门投诉。例如，油烟污染可向环保部门投诉，噪音问题可向公安机关反映，占道经营可向城管部门举报。
准备投诉材料：
- 收集相关证据，如照片、视频、噪音检测数据等，以证明烧烤店已采取整改措施或存在扰民行为。
- 撰写详细的投诉信或填写投诉表格，明确说明投诉事项、时间、地点及联系方式。
正式投诉：
- 向相关部门提交投诉材料，并跟进处理进度。
- 如需要，可配合相关部门的调查工作，提供必要的协助和说明。
四、法律途径解决
收集证据：
- 如协商和行政投诉均无果，应开始收集更全面的证据，以备提起民事诉讼。
- 证据应包括烧烤店扰民的具体事实、时间、地点、影响程度以及因此产生的损失等。
咨询专业律师：
- 在决定提起民事诉讼前，建议咨询专业律师，了解相关法律规定和诉讼程序。
- 律师可帮助评估案件的胜诉可能性，制定合适的诉讼策略。
提起民事诉讼：
- 如律师认为有必要，可准备起诉状及相关证据材料，向人民法院提起民事诉讼。
- 在诉讼过程中，应积极配合法院的审理工作，陈述事实、提供证据，并尊重法院的判决结果。
五、持续改进与预防
加强内部管理：
- 对烧烤店进行规范化管理，确保各项经营活动符合法律法规和环保要求。
- 定期对员工进行培训和教育，提高他们的环保意识和法律意识。
建立反馈机制：
- 设立投诉热线或意见箱，鼓励顾客和周边居民提出意见和建议。
- 对收到的投诉和意见进行及时处理和回复，不断改进服务质量。
加强社区合作：
- 与周边社区建立良好的合作关系，共同参与社区治理和公益活动。
- 通过社区活动等方式增进与居民之间的了解和信任，减少矛盾和纠纷的发生。
综上所述，面对烧烤店被投诉扰民的问题，应首先进行自查与整改，然后与投诉者沟通协商。如协商无果，可向相关行政部门投诉并寻求帮助。若问题仍未解决，可考虑通过法律途径解决。在整个过程中，应保持冷静、理性，注重证据的收集和保存，以确保自己的合法权益得到有效维护。同时，也应加强内部管理、建立反馈机制并加强与社区的合作，以预防类似问题的再次发生。