当您驾驶车辆不慎压死有主人的狗时，这确实是一个涉及法律责任和保险赔偿的复杂问题。以下是对此问题的详细解答：
一、保险公司是否会赔偿
保险种类与赔偿范围：
- 交强险：根据《机动车交通事故责任强制保险条例》，被保险机动车发生道路交通事故造成第三方财产损失时，保险公司应在交强险责任限额内进行赔偿。若压死狗的事故发生在道路上，且车主负有责任，交强险通常会在财产损失赔偿限额（如2000元）内进行赔付。
- 商业第三者责任险：作为交强险的补充，若事故属于保险责任范围且车主有责任，交强险赔偿后仍有不足的部分，可由商业第三者责任险按合同约定进行赔偿。
事故责任认定：
- 明确事故责任是判断保险公司是否赔偿的关键。若车主全责，则触发保险赔付机制的可能性更大。若狗狗主人也有责任（如未牵绳等），可能会影响最终的赔偿比例和金额。
- 在某些特殊情况下，如狗突然窜出且车主已采取合理避让措施，车主可能无需承担赔偿责任，进而保险公司也无需赔偿。
保险条款与免责情形：
- 保险合同中的具体条款决定了赔偿范围和免责情形。有些保险可能明确将动物伤亡排除在赔偿范围之外，而有些则包含在内。因此，务必仔细阅读保险合同，了解具体条款。
- 若事故发生时车主存在酒驾、无证驾驶等违法行为，或违反保险合同中约定的其他免责条款，保险公司可能会拒绝赔偿。
二、肇事逃逸问题
- 若驾车者在撞死狗后选择离去，这一行为可能构成肇事逃逸。因为无论被碰撞对象是人类还是具有所有权或相关管理权的动物，此类事件都可被视为交通事故。
- 肇事逃逸是违法行为，驾驶者有义务在事故发生后立即停止行驶，确保现场安全，并承担相应的法律责任。
三、建议与总结
- 及时报案与收集证据：事故发生后，应尽快向保险公司报案，并收集现场照片、视频、目击者证言等证据，以便后续申请理赔。
- 仔细阅读保险合同：了解保险条款中的赔偿范围和免责情形，以便在需要时能够准确判断保险公司的赔偿责任。
- 咨询专业人士：若对赔偿问题存在疑问或争议，建议咨询专业的保险代理人或律师，以获取更具体的法律意见和赔偿建议。
综上所述，压死狗后保险公司是否会赔偿取决于多个因素，包括事故责任、保险种类及条款以及证据收集情况等。因此，在处理此类问题时，务必保持冷静并遵循相关法律法规和保险条款的规定。