关于您提出的“没有结婚证的情况下，孩子出生证明是否可以随意填写父亲名字”的问题，这实际上需要根据具体情况和相关法律法规来解答。

首先，我们要明确的是，无论父母是否领取结婚证，孩子的出生证明在符合相关规定的情况下，均可以写上父亲的名字。但这里的“符合相关规定”指的是需要提供真实有效的身份信息等相关材料，并按照医疗机构或当地户籍管理部门的要求进行办理。

对于已婚情况，如果父母在孩子出生前已经领取了结婚证，那么孩子的出生证明就可以直接写上父亲的名字，这是因为在合法婚姻关系下，孩子是在婚姻存续期间出生的，所以出生证明上写明父亲的信息是符合法律规定的。

对于未婚情况，虽然父母没有结婚证，但并不意味着孩子的出生证明上不能写父亲的名字。根据《中华人民共和国母婴保健法》及相关规定，出生医学证明是证明婴儿出生状态、血亲关系以及申报国籍、户籍取得公民身份的法定医学证明。在办理时，只要能够提供真实有效的身份信息等相关材料，医疗机构就可以根据实际情况和提供的信息来填写出生医学证明，包括父亲的名字。但需要注意的是，不同地区对未婚生育的具体要求和办理流程可能存在差异，因此建议在实际操作前咨询当地的户籍管理部门或专业律师以获取更准确的指导和帮助。

此外，关于孩子姓氏的选择，根据《中华人民共和国民法典》的规定，自然人应当随父姓或者母姓，这一规定并不以父母是否结婚为前提条件。因此，无论父母是否领取结婚证，只要双方就孩子的姓氏达成一致意见，孩子在出生证明上即可随父亲或母亲的姓氏。

综上所述，没有结婚证的情况下，孩子出生证明上填写父亲名字并不是随意的，而是需要遵循相关法律法规和办理流程。建议您在办理前咨询当地户籍管理部门或专业律师，以确保孩子的合法权益得到充分保障。