《中华人民共和国社会保险法》第五十一条明确规定，失业人员在领取失业保险金期间，若出现以下任一情形，将停止领取失业保险金，并同时停止享受其他失业保险待遇：

1. 重新就业：当失业人员找到新的工作并重新就业时，将不再符合领取失业保险金的条件，因此需停止领取。

2. 应征服兵役：若失业人员应召入伍，服兵役期间将不再领取失业保险金，因为其已转为军人身份，享受相应的军人待遇。

3. 移居境外：失业人员若移居境外，将不再属于我国社会保险体系覆盖的范围，因此需停止领取失业保险金。

4. 享受基本养老保险待遇：当失业人员达到退休年龄并开始享受基本养老保险待遇时，将不再领取失业保险金，因为此时其已有稳定的养老金收入。

5. 无正当理由拒不接受工作或培训：若失业人员无正当理由拒绝当地人民政府指定部门或机构介绍的适当工作或提供的培训，将视为其主动放弃就业机会，因此需停止领取失业保险金。

综上所述，《中华人民共和国社会保险法》第五十一条详细规定了失业人员在领取失业保险金期间停止领取的几种情形，以确保失业保险金的合理使用和有效管理。