农民工在遭遇工伤后，为了快速且有效地解决问题，可以按照以下步骤进行：

一、第一时间就医并保留证据

首先，农民工应立即前往医院接受治疗，并确保保留所有与工伤相关的病历、费用票据等医疗证据。同时，尽快收集能证明劳动关系与事故经过的证据，如工资转账记录、考勤表、工作群聊天记录、证人证言、现场照片视频等。这些证据在后续申请工伤认定和索赔过程中将起到关键作用。

二、向用人单位所在地的人力资源与社会保障局（人社局）申请工伤认定

自受伤之日起1年内，农民工应向用人单位所在地的人力资源与社会保障局（人社局）申请工伤认定。这是获得工伤赔偿的前提和基础。在申请时，需要提交工伤认定申请表、与用人单位存在劳动关系的证明材料、医疗诊断证明或者职业病诊断证明书等文件。

三、处理劳动关系确认问题

如果单位不配合或拒不承认劳动关系，农民工可以先申请劳动仲裁确认劳动关系。劳动仲裁机构将依法进行裁决，确认双方是否存在劳动关系。此外，农民工也可以向劳动监察大队投诉，劳动监察大队将依法对用人单位进行监察，并督促其配合处理工伤事宜。

四、考虑法律途径

如果因缺乏合同、社保等导致工伤认定困难，农民工可以直接按“提供劳务者受害责任纠纷”向法院起诉要求人身损害赔偿。法院将依法审理案件，并作出公正裁决。

五、申请法律援助

对于经济困难的农民工，建议及时申请法律援助。可以拨打12348法律援助热线，获取专业的法律帮助和指导。法律援助机构将为农民工提供免费的法律咨询、代理诉讼等服务，帮助其维护合法权益。

六、注意事项

在整个过程中，农民工应警惕“私了”或“包工头口头承诺”等陷阱，务必走法定程序才能获得足额赔偿。同时，要保持与用人单位、人社局、劳动仲裁机构等相关部门的沟通联系，及时了解案件进展情况，并积极配合处理工伤事宜。

概括起来，农民工在遭遇工伤后，应尽快就医并保留证据，向人社局申请工伤认定，处理劳动关系确认问题，考虑法律途径，并申请法律援助以维护自身权益。