结论前置：同一家银行信用卡逾期后，储蓄卡里的钱是否会被划走，主要取决于是否签订了自动还款协议、银行是否依法行使抵销权，以及储蓄卡是否被司法冻结等因素。以下是对此问题的详细分析：
签订自动还款协议的情况：
- 在办理信用卡时，如果持卡人与银行签订了自动还款协议，并明确同意在信用卡逾期等情况下，银行可以从其在本行的储蓄卡中划扣资金用于偿还信用卡欠款，那么一旦信用卡逾期，银行有权按照协议约定从储蓄卡中扣款。这是基于双方合同约定的合法操作。
银行依法行使抵销权的情况：
- 根据相关法律规定和银行业务规则，当客户在同一家银行的信用卡出现逾期欠款，且其储蓄卡中有存款时，银行在符合一定条件和程序要求的情况下，可以依据抵销权直接扣划储蓄卡内的资金来偿还信用卡欠款。这通常发生在银行多次催收无果，且欠款逾期时间较长的情况下。银行在行使抵销权前，一般会提前通知持卡人。
储蓄卡被司法冻结的情况：
- 若储蓄卡因涉及诉讼等原因被司法机关冻结，银行在此期间无法对储蓄卡内的资金进行扣划操作以偿还信用卡欠款。即使信用卡逾期，银行也需等待司法冻结解除后再根据具体情况决定是否扣划。这是因为司法冻结具有法律效力，银行必须遵守。
未签订自动还款协议且银行不符合抵销权行使条件的情况：
- 如果持卡人没有与银行签订自动还款协议，且银行不符合行使抵销权的法定条件或内部规定（如债权债务关系不明确、双方未互负到期债务等），银行则不能擅自扣划储蓄卡内的资金。在这种情况下，持卡人的储蓄卡资金是相对安全的。
建议与注意事项：
- 持卡人应详细了解自己与银行签订的协议内容，特别是关于自动还款和抵销权的相关条款，以便在信用卡逾期时能够明确自己的权益和义务。
- 如对银行的扣款行为存在疑问或认为其不合法，应及时与银行进行沟通协商，必要时可通过法律途径维护自己的合法权益。例如，可以向银保监会投诉或向法院提起诉讼等。
- 为避免不必要的麻烦和损失，持卡人应尽量确保信用卡按时还款，避免逾期情况的发生。如遇还款困难，应及时与银行沟通协商解决方案，如申请分期还款、延期还款等。
综上所述，同一家银行信用卡逾期后储蓄卡是否会被扣款，需根据具体情况而定。持卡人应了解自己的权益和义务，并采取相应的措施以避免不必要的损失。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。