结论前置：

1. 员工在法定医疗期内，公司不得随意辞退。
2. 医疗期满后，若员工不能从事原工作或另行安排的工作，公司可依法解除劳动合同，但需支付经济补偿金。
3. 若员工在生病期间存在严重违反公司规章制度等法定解除劳动合同的情形，公司可以依法辞退，且无需支付经济补偿。

详细分析：

一、法定医疗期内不得辞退

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条第三项的规定，员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）和第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。医疗期是指员工因患病或非因工负伤停止工作治病休息，且在此期间内用人单位不得解除劳动合同的时限。具体时长根据员工在用人单位的工作年限来确定，范围从三个月到二十四个月不等。

• 举例说明：假设员工A在公司工作了5年，因患病需要停止工作治疗，根据规定，A享有6个月的医疗期。在这6个月内，公司不得辞退A，否则将构成违法解除劳动合同。

二、医疗期满后的处理

若员工在医疗期满后，既无法从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知员工或额外支付员工一个月工资后，有权解除劳动合同。但此时，用人单位仍需向员工支付经济补偿金。经济补偿金的标准为：按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准来计算；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

• 举例说明：继续以员工A为例，若A在医疗期满后仍无法从事原工作，公司决定解除劳动合同。此时，公司需提前三十日以书面形式通知A，并支付A5个月工资的经济补偿金（因为A在公司工作了5年）。

三、存在严重违纪等情形的辞退

若员工在生病期间存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害等《劳动合同法》第三十九条所规定的情形，公司有权立即辞退该员工，且无需支付任何经济补偿。

• 举例说明：假设员工B在生病期间，利用病假时间在外兼职，且该兼职行为严重影响了其在公司的工作，给公司造成了重大损失。此时，公司有权立即辞退B，且无需支付经济补偿。

四、违法辞退的后果

若公司在法定医疗期内违法辞退员工，将构成违法解除劳动合同，需向员工支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。

• 计算公式：赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = （员工在本单位工作的年限 × 每满一年支付一个月工资的标准）× 2

建议与总结：

公司在处理员工生病期间的劳动关系时，务必谨慎行事，确保合法合规。在法定医疗期内，除非员工存在严重违纪等特定情形，否则公司不得解除劳动合同。医疗期外，若员工不能胜任工作或存在其他法定过错，公司也需按照法定程序进行辞退，并承担相应的法律责任。若你对具体案件或法律条款有疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供详细的法律解释和建议。