当您手中的支票超过了10天的提示付款期限时，确实会面临一些处理上的挑战，但并非没有补救的办法。以下是我为您详细梳理的几种合法且有效的处理途径，希望能帮助您维护自身权益：

一、与出票人协商更换支票

这是最直接且通常较为有效的方法。您应尽快与出票人取得联系，向他们说明支票已经过期的情况，并诚恳地请求他们重新开具一张新的支票。在协商时，建议您携带好相关的交易凭证，如合同、发票等，这些都能增加您协商成功的几率。同时，收到新支票后，请务必立即兑现，以避免再次出现过期的风险。

二、行使票据利益返还请求权

如果与出票人的协商没有成功，或者出票人拒绝重新开具支票，您还可以考虑行使票据利益返还请求权。这要求您的票据权利曾经有效存在，但因时效届满或手续欠缺而消灭，同时出票人或承兑人因此获得了额外的利益。在这种情况下，您可以先尝试与出票人协商，要求他们返还与支票金额相当的利益。如果协商不成，您可以向人民法院提起民事诉讼，但请务必准备充分的证据，如过期的支票、交易合同、发货凭证、发票等，以证明自己的合法权益。

三、采取其他法律途径

如果上述两种方法都无法解决问题，且您与出票人之间存在基础交易关系（如买卖、服务等），您还可以依据基础交易关系的相关证据向法院提起诉讼，要求出票人履行基础合同义务并支付相应款项。此外，虽然银行不是直接的法律救济途径，但您也可以联系银行咨询是否有其他补救措施，部分银行可能会根据实际情况提供灵活的解决方案。

四、保留证据与文件

在处理支票过期问题的整个过程中，您务必妥善保留所有相关的证据和文件，包括但不限于过期的支票、交易合同、发货凭证、发票、对账单以及与出票人的沟通记录等。这些证据在后续维权或应对纠纷时将起到至关重要的作用。

总结与建议：

支票过期虽然会带来一些不便，但通过积极采取措施并与出票人、银行及法律机构保持沟通与合作，您仍有很大的机会挽回损失。在处理过程中，请务必保持冷静与理性，遵循法律法规的要求进行操作，以确保自身权益得到最大程度的保护。希望这些建议能对您有所帮助。