结论：判决书下来超过15天（刑事诉讼中为10天），通常情况下当事人将失去上诉的权利。但存在特定情况，如因不可抗力或其他正当理由耽误上诉期限，可以申请顺延；若仍对判决有异议，还可考虑通过申请再审等其他途径寻求救济。

详细分析：

1. 上诉期限的法律规定：

   • 民事诉讼：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人不服地方人民法院第一审判决的，有权在判决书送达之日起十五日内向上一级人民法院提起上诉。这15天是法定的上诉期，从接到判决书的第二日起算。
   • 刑事诉讼：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》，不服判决的上诉和抗诉的期限为十日，也是从接到判决书的第二日起算。因此，如果是刑事案件，判决后过了15天，通常已经超过了上诉期。

2. 超过上诉期限的后果：

   • 如果当事人在法定期限内未提起上诉，则一审判决将发生法律效力。此时，当事人不能再通过上诉程序来改变或撤销原判决。

3. 特殊情况下的救济途径：

   • 申请顺延期限：如果当事人因不可抗拒的事由（如重大疾病、自然灾害等）或者其他正当理由（如被羁押无法及时行使权利、重大误解等）耽误上诉期限，可以在障碍消除后的十日内（民事诉讼）或根据法院决定的时间（刑事诉讼），向法院申请顺延期限。是否准许，由人民法院决定。
   • 申请再审：若对生效判决有异议，当事人可以在判决生效后的六个月内向上一级人民法院申请再审。申请再审需具备法定事由，如有新的证据足以推翻原判决、原判决认定的基本事实缺乏证据证明、主要证据是伪造的或未经质证、当事人因客观原因不能自行收集的主要证据未获法院调查收集，以及原判决适用法律确有错误等。
   • 向检察院申请抗诉或申诉：当事人还可以选择向人民检察院申请检察建议或者抗诉，或者向检察院提出申诉，请求检察院对法院的判决进行监督。检察院在审查后，如果认为判决存在错误，可以依法向法院提出抗诉或建议，启动再审程序。

建议：

• 及时咨询：为了避免错过上诉期或其他法律救济途径的时效，建议当事人在收到判决书后尽快向我咨询，以便准确了解自己的权利和可行的法律途径。
• 保留证据：注意保留好所有与案件相关的证据和材料，以备不时之需。特别是在申请再审或向检察院申诉时，充分的证据将大大增加成功的机会。

示例说明：

假设张三收到了一份民事判决书，判决他需支付对方一定数额的赔偿。张三认为判决不公，但因工作繁忙，未能在15天内提起上诉。此时，张三已失去常规上诉的权利。但如果张三能证明因重病住院等不可抗力原因导致未能及时上诉，他可以向法院申请顺延期限。若顺延申请未获批准，张三仍可在判决生效后的六个月内向上一级人民法院申请再审，或向检察院申请抗诉或申诉。